曲线最小二乘拟合

由于直接用例题解释实际解题方法更直观，所以就不再讲解具体的抽象的数学语言，直接来看下面的例题。

引例（解题方法）

例

给出点：

$x$	$19$	$25$	$31$	$38$	$44$
$y$	$19.0$	$32.3$	$49.0$	$73.3$	$97.8$

欲用二次函数 $g (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2}$ 拟合。

这五个数据点都满足：

{\begin{matrix} a_{0} & + 19 a_{1} & + 19^{2} a_{2} & = 19.0 \\ a_{0} & + 25 a_{1} & + 25^{2} a_{2} & = 32.3 \\ a_{0} & + 31 a_{1} & + 31^{2} a_{2} & = 49.0 \\ a_{0} & + 38 a_{1} & + 38^{2} a_{2} & = 73.3 \\ a_{0} & + 44 a_{1} & + 44^{2} a_{2} & = 97.8 \end{matrix}

写为 $A x = b$ 形式：

\underset{A}{[\begin{matrix} 1 & 19 & 19^{2} \\ 1 & 25 & 25^{2} \\ 1 & 31 & 31^{2} \\ 1 & 38 & 38^{2} \\ 1 & 44 & 44^{2} \end{matrix}]} \underset{x}{[\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}]} = \underset{b}{[\begin{matrix} 19.0 \\ 32.3 \\ 49.0 \\ 73.3 \\ 97.8 \end{matrix}]}

称这个无解的方程组为矛盾方程组。

则上述矛盾方程组对应的正规方程组为：

(A^{T} A) x = A^{T} b

即

\underset{A^{T} A}{[\begin{matrix} 5 & 157 & 5327 \\ 157 & 5327 & 192331 \\ 5327 & 192331 & 7277699 \end{matrix}]} \underset{x}{[\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}]} = \underset{A^{T} b}{[\begin{matrix} 271.4 \\ 9776.1 \\ 369321.5 \end{matrix}]}

解出这个正规方程组的解 $x = [\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}]$ ，即为答案。

上面的拟合是使用抛物线的二次拟合。除此之外，还有：